- 发布日期:2025-10-09 01:35 点击次数:68
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长文警告,本文阅读6min
大家好,我是科学羊。
接上篇,我们聊到了质数的无穷奥秘和素数定理的宏大图景。
数论的浪漫,就像一首未完的交响曲。
今天我们继续这段旅程——从“哥德巴赫的浪漫悬念”,到“费马留下的世纪难题”,再到“虚数的诞生与藏宝图的秘密”。这些看似枯燥的概念,背后都藏着人类智慧的执念与想象。
1742年,普鲁士数学家哥德巴赫提出了一个看似简单的想法:“任何一个大于2的偶数,都可以写成两个质数的和。”
12=5+7,24=17+7,32=29+3……随便一试,好像都能成立。
于是,这个命题被称为“哥德巴赫猜想”。
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将一个偶数用两个素数之和表示的方法,等于同一横线上,蓝线和红线的交点数。
问题是,直觉和真理之间,往往隔着深渊。
到今天为止,哥德巴赫猜想依然没有被证明,也没有找到反例。它就像一道优雅的悬念,让几代数学家彻夜难眠。
不过,人类并不是毫无进展。
1930年代,苏联数学家施尼雷尔曼证明:任何一个足够大的整数,都可以写成有限个质数的和。他的初始结果里,这个“有限个”多达30万,但至少说明了路是可走的。
后来,维诺格拉多夫进一步突破,他证明了:所有足够大的奇数都能写成三个质数的和。从而也推出:所有足够大的偶数可以写成四个质数的和。
从“四”到“二”,只差最后一步。
可这一步,似乎是最难的。它或许只差一个灵光乍现,或许还要等待下一个世纪。
哥德巴赫猜想之所以迷人,正是因为它如此“亲切”却又“遥不可及”。就像一道家常菜的配方,你明明觉得能做出来,却怎么也没能端上桌。
相比哥德巴赫猜想的浪漫,费马大定理更像一部旷日持久的连续剧。
故事要从古埃及的木匠说起。
他们知道,边长3:4:5的三角形一定是直角三角形。这是最古老的“毕达哥拉斯三元组”,也称勾股定理。
用方程写出来,就是:
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它的整数解不止一个,而是无穷多个。
到了17世纪,法国数学家费马在读丢番图《算术》时,随手在书页边写下了一句话:
“当指数大于2时,方程 x^n+y^n=z^n 没有整数解。我已经找到了一个绝妙的证明,但页边太窄写不下。”
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就是这句话,把后世三百多年最聪明的人都“吊”了起来。
数学家们一个个尝试复原这个所谓的“绝妙证明”。
欧拉证明了 n=3,4的情形,狄利克雷和拉梅拿下 n=5,7,后来又有人把可证明的范围推进到更大的指数。但无论如何,都无法给出一个对所有指数都成立的统一证明。
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安德鲁·怀尔斯
直到1994年,英国数学家安德鲁·怀尔斯,孤独地在书房里潜心研究多年,终于用现代数论和代数几何的工具,证明了费马大定理。
那一年,他在剑桥大学的讲堂上,平静地写下最后一个等式,全场起立鼓掌。这场“数学悬疑剧”,终于落幕。
讽刺的是,学界几乎一致认为:费马本人当年不可能掌握如此复杂的工具,他的“绝妙证明”大概率是错的。可这并不妨碍这条批注,成为数学史上最传奇的一笔。
如果说质数让人困惑,费马让人执念,那么虚数则让人怀疑人生。
问题很简单:负数有平方根吗?
因为正数的平方是正数,负数的平方也是正数,所以古人一致认为——没有。
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复平面的图示。虚数位于垂直坐标轴之上。
但16世纪,意大利数学家卡尔达诺在研究方程时,偏偏遇到了负数开方的问题。他硬着头皮写下了那些“不存在的数”,虽然心里明白“这不过是虚构”。
然而,数学的历史常常如此:只要有人敢于“胡写”,就有人能在“虚构”里找到真实。
渐渐地,人们发现这些“虚数”不仅能自洽,还能解决许多实实在在的问题。
欧拉引入了符号
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复数 a+bi诞生。
真正让虚数“落地”的,是几何解释。18世纪末,挪威测量师韦塞尔和法国会计师阿尔冈,提出了复平面的图像:
实数在横轴;
纯虚数在纵轴;
点 a+bi就在坐标 (a,b)。
更神奇的是:把一个数乘以 i,等价于让它绕原点逆时针旋转90°。
于是 i^2=−1 这个神秘结论,变得像“旋转两次90°,方向相反了”一样自然。
从此,虚数不再是“胡说八道”,而是现代数学和物理的基石。交流电、信号处理、量子力学,处处都离不开它。
当然,有一个小故事,可以让虚数的神奇更加直观。
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一位冒险家在羊皮纸上发现藏宝图:
岛上有一棵橡树、一棵松树,还有一个绞刑架;
从绞刑架走到橡树,右转90°走同样步数,做记号;
再从绞刑架走到松树,左转90°走同样步数,再做记号;
两个记号的中点,就是宝藏。
冒险家找到了橡树和松树,却发现绞刑架早已不见。他绝望地挖遍全岛,最后空手而归。
其实,复数可以解开谜题。
把橡树放在 −1,松树放在 +1,岛屿就成了复平面;
“右转90°”是乘以 -i,“左转90°”是乘以 i;
做一番推算后,绞刑架的坐标项神奇地抵消掉了,最后答案固定落在:
点 i也就是说,无论绞刑架在哪儿,宝藏都在 i 点。
如果冒险家懂点数学,他会直接在“虚数轴正方向的一个单位”处挖宝,而不是在岛上乱挖。
这个故事告诉我们:虚数不仅是抽象的符号,它能帮我们消除未知、抓住本质。真正的数学,总能把复杂世界变得简洁而清晰。
从哥德巴赫猜想的浪漫,到费马大定理的执念,再到虚数的神奇与藏宝图的解法,我们能看到数学的双重身份:
它是一门追求纯粹的思维艺术,喜欢在抽象中徜徉;
它也是解决现实的强大工具,总能在需要时出手相助。
数学看似高冷,却一次次证明自己并非象牙塔的装饰,而是人类认知世界最锋利的钥匙。她的魅力,在于既能给出理性的定律,也能保留浪漫的悬念。
也许这正是为什么,哪怕我们永远走不到“数学的尽头”,依然愿意追随她的原因。
好,今天就先这样啦~
科学羊🐏 2025/09/03
祝幸福~
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